NASSIM NICHOLAS TALEB · LABORATORIO DE PROBABILIDAD

Ganar una elección no es lo mismo que obtener el 52% de los votos.

Una ventaja pequeña puede implicar una victoria casi segura o una contienda abierta. La diferencia es la incertidumbre que queda hasta la elección. Explora el modelo de Election Predictions as Martingales: An Arbitrage Approach y después reconstruye sus argumentos, paso a paso.

Simulación · Derivación · Precisiones sobre el artículo

01 · EXPERIMENTA

Los votos y la probabilidad se actualizan juntos

Proporción estimada de votos, Y₀ Escala del proceso auxiliar, σ Tiempo hasta la elección

Umbral de victoria K = 50%. Tiempo en años (365 días). σ se mide en años⁻¹ᐟ²; no es el error de una encuesta. La volatilidad instantánea de votos se calcula debajo.

Probabilidad de victoria B₀

Volatilidad local de Y (pp/√año)

Victorias simuladas · 4 000 trayectorias

Una misma historia, dos cantidades

━ Votos estimados Yₜ━ Probabilidad Bₜ

¿Qué cambia al aumentar σ?

━ Probabilidad inicial B₀┄ Proporción inicial Y₀

Prueba «Poca incertidumbre» y luego «Mucha incertidumbre»: la misma ventaja de 52% deja de justificar tanta confianza. Una trayectoria individual puede subir o bajar mucho: ser martingala significa que su promedio condicional no tiene deriva.

Comprobar la martingala en el conjunto de simulaciones

Se simulan 4 000 historias independientes con transiciones gaussianas exactas en 100 intervalos. La tabla compara sus medias con los valores iniciales. Los márgenes son ±1,96 errores estándar de Monte Carlo; no son intervalos sobre una elección real.

Tiempo transcurrido	Media de Yₜ ± margen	Media de Bₜ ± margen

Este diagnóstico verifica medias desde el estado inicial. La propiedad condicional completa se demuestra con la ley de la esperanza iterada, más abajo. Las curvas usan la misma semilla al mover controles para facilitar la comparación; «Otra muestra» cambia la semilla.

02 · EL ARGUMENTO

1. Tres objetos que conviene separar

Yₜ es la estimación en el tiempo t de la proporción final de votos. I = 𝟙{Y_T > K} indica si el candidato gana. Bₜ es la probabilidad condicional de esa victoria, dada la información ℱₜ. En general, Yₜ ≠ Bₜ.

Yₜ ∈ (0,1), I ∈ {0,1}, Bₜ = E[I | ℱₜ].

Un contrato que paga 1 al ganar y 0 al perder tiene valor Bₜ bajo la medida de valoración del modelo, sin descuento. Taleb propone exigir a los pronósticos la misma coherencia temporal que a ese precio.

Para u > t, la información disponible ahora está contenida en la futura: ℱₜ ⊆ ℱᵤ. Por eso, promediar hoy las probabilidades que mañana podríamos publicar devuelve la probabilidad de hoy:

E[Bᵤ | ℱₜ] = E[E[I | ℱᵤ] | ℱₜ] = E[I | ℱₜ] = Bₜ.

Ésta es la propiedad de martingala. No obliga a mantener fijo el pronóstico: obliga a que sus revisiones futuras no sean predecibles en promedio con la información actual.

2. Cómo construir votos acotados sin introducir deriva

Un movimiento browniano puede salir de [0,1]. Taleb introduce una variable auxiliar X sobre toda la recta y la transforma con una sigmoide:

S(x) = ½[1 + erf(x)] = Φ(√2 x), Yₜ = S(Xₜ).
erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ exp(−u²) du.

Φ es la función de distribución normal estándar. S es creciente y lleva la recta a (0,1). Transformar un browniano sin deriva no basta: la curvatura de S añade una deriva por la fórmula de Itô.

Escribamos dXₜ = μ(Xₜ)dt + σdWₜ. Derivamos S y sustituimos:

S′(x) = exp(−x²)/√π, S″(x) = −2x S′(x).
dYₜ = [S′(Xₜ)μ(Xₜ) + ½σ²S″(Xₜ)]dt + σS′(Xₜ)dWₜ
= S′(Xₜ)[μ(Xₜ) − σ²Xₜ]dt + σS′(Xₜ)dWₜ.

Elegir μ(x) = σ²x cancela exactamente el término en dt. Así se obtienen las ecuaciones (5) y de la sección III:

dXₜ = σ²Xₜ dt + σ dWₜ,
dYₜ = a(Yₜ)dWₜ, a(y) = (σ/√π) exp(−[erf⁻¹(2y−1)]²).

X tiene una deriva que lo aleja del centro; Y no tiene deriva. Como Y está acotado, esta martingala local es una martingala verdadera. Su volatilidad a(y) disminuye cerca de 0 y 1; la transformación evita que atraviese las fronteras.

3. Resolver X antes de calcular una victoria

Sea τ = T − t. Multiplicamos la ecuación de X por el factor integrante exp(−σ²t). La regla del producto cancela la deriva:

d[exp(−σ²t)Xₜ] = σ exp(−σ²t)dWₜ.
X_T = exp(σ²τ)Xₜ + σ ∫ₜᵀ exp[σ²(T−u)] dWᵤ.

Condicional a ℱₜ, la integral tiene media cero. Su integrando es determinista, por lo que es gaussiana; su varianza se obtiene con la isometría de Itô:

m = E[X_T | ℱₜ] = exp(σ²τ)Xₜ,
v = σ² ∫ₜᵀ exp[2σ²(T−u)] du
= σ² · [exp(2σ²τ) − 1]/(2σ²)
= [exp(2σ²τ) − 1]/2.

En consecuencia, X_T = m + √v Z en distribución condicional, donde Z es normal estándar. Esta misma fórmula genera cada paso de la simulación; no se usa Euler ni se recortan los votos a [0,1].

4. De una cola normal a la fórmula de Taleb

Hay dos umbrales distintos: K en unidades de votos y ℓ en unidades de X. La monotonía de S permite transformar el evento sin cambiar su probabilidad:

x = S⁻¹(y) = erf⁻¹(2y−1), ℓ = S⁻¹(K).
{Y_T > K} = {X_T > ℓ}.
B(y,σ,τ;K) = P(Z > (ℓ−m)/√v)
= Φ((m−ℓ)/√v)
= ½ erfc((ℓ−x exp(σ²τ))/√[exp(2σ²τ)−1]).

Aquí erfc(z) = 1 − erf(z). Para K = ½, el umbral transformado es ℓ = 0, no ½. El signo también importa: aumentar los votos estimados debe aumentar la probabilidad de ganar.

La cuenta con tus parámetros

Al final, τ = 0, la fórmula de cola se sustituye por el pago I. Para σ > 0 y un estado inicial interior, el empate terminal tiene probabilidad cero.

5. Qué significa «más incertidumbre»

Con umbral ½ podemos dividir numerador y denominador por exp(σ²τ) y escribir q = σ²τ:

B = Φ(√2 x / √[1−exp(−2q)]).

Si y > ½, entonces x > 0. Al aumentar q, crece el denominador, disminuye el argumento de Φ y baja B. Para y < ½ ocurre lo simétrico. Pero los límites exactos son:

q → 0: B → 𝟙{y > ½} (y ≠ ½).
q → ∞: B → Φ(√2 x) = y.
y = ½: B = ½ para todo q > 0.

Con 52% de votos estimados, el límite de gran incertidumbre es 52% de probabilidad. La expresión «hacia el 50%» resume bien una elección cercana al empate, pero no es el límite literal para cualquier y.

Sensibilidad a votos no es volatilidad temporal

Definiendo D = 1−exp(−2q) y z = √2x/√D, la regla de la cadena da:

∂B/∂y = φ(z) · (√2/√D) · √π exp(x²)
= exp[x² − x²/D]/√D.

φ es la densidad normal estándar. Cerca del empate, x ≈ 0, esta sensibilidad pasa de valores grandes a 1 al aumentar q. Lejos del empate puede comportarse de manera no monótona. Y la volatilidad instantánea del pronóstico es σ_B = (∂B/∂y)a(y): también interviene a(y), que crece con σ a estado fijo. Por eso no debe leerse la afirmación introductoria del artículo como una ley universal de volatilidad temporal decreciente.

6. Por qué B tampoco tiene deriva

Sea F(t,x) la probabilidad calculada arriba. Aplicar Itô a F(t,Xₜ) produce:

dBₜ = [Fₜ + σ²x Fₓ + ½σ²Fₓₓ]dt + σFₓdWₜ.
Fₜ + σ²x Fₓ + ½σ²Fₓₓ = 0,
F(T,x) = 𝟙{x > ℓ}.

La ecuación hacia atrás, ecuación (6) del artículo, hace cero la deriva. No se impone Fₜ = 0: el tiempo restante cambia el valor de una opción binaria. Es la suma de los tres términos la que se anula. La demostración por esperanza iterada del apartado 1 ofrece el mismo resultado sin derivar F.

7. De la incertidumbre de votos a σ

La simulación controla σ directamente para evitar confundir tres cantidades: la escala auxiliar σ, la volatilidad instantánea a(y) y la desviación estándar terminal de votos s_τ = √Var(Y_T | Yₜ=y).

La calibración aproximada de las ecuaciones (2) y (4) linealiza la transformación inversa alrededor de y. Puesto que (S⁻¹)′(y) = √π exp(x²):

Var(X_T) ≈ [(S⁻¹)′(y)]² s_τ² = π exp(2x²) s_τ².
[exp(2σ²τ)−1]/2 ≈ π exp(2x²) s_τ².
exp(2σ²τ) ≈ 1 + 2π exp(2x²) s_τ².
σ ≈ √{log[1 + 2π exp(2x²)s_τ²]/(2τ)}.

Ésta es una aproximación de primer orden, no una igualdad de varianzas exacta. El artículo llama s «anualizada», pero la expresión anterior usa incertidumbre acumulada hasta T. Si se parte de una escala anualizada s_anual y se adopta escalamiento difusivo local, se sustituye s_τ ≈ s_anual√τ. Para horizontes cortos, resulta σ ≈ √π exp(x²)s_anual, coherente con a(y).

8. El vínculo con Brier y el alcance del arbitraje

Para un evento I con probabilidad condicional p y una predicción b, el error cuadrático esperado se descompone exactamente:

E[(I−b)² | ℱₜ] = p(1−b)² + (1−p)b²
= p − 2pb + b²
= p(1−p) + (b−p)².

El primer término no depende de b; el segundo se minimiza únicamente en b = p. El Brier óptimo y el valor condicional del contrato seleccionan la misma probabilidad, dada la misma medida y la misma información.

Si hoy alguien cotiza 0,60 y anuncia que mañana cotizará 0,70 en todos los estados, comprar hoy y vender mañana asegura 0,10, siempre que ambas operaciones sean posibles y no haya costos. Si 0,70 es sólo el valor esperado de mañana, el beneficio es esperado y puede haber pérdidas: eso por sí solo no demuestra arbitraje sin riesgo.

La interpretación de Taleb supone cotizaciones negociables de compra y venta y una medida de valoración coherente. Ausencia de arbitraje exige una medida martingala adecuada; no identifica por sí sola las probabilidades reales ni el modelo específico de X. El voto subyacente puede no ser negociable y una encuesta no equivale automáticamente a Yₜ.

Cómo leer el artículo con estas precisiones

Se reproduce el núcleo del modelo, explicitando pasos y corrigiendo ambigüedades de notación de la copia consultada:

Umbral y signo (§II): se distinguen K y ℓ = S⁻¹(K). Se usa la cola superior que crece con y; una de las expresiones intermedias del PDF invierte el signo de erfc.
Derivada temporal (§II): Fₜ generalmente no es cero; debe conservarse en la ecuación hacia atrás.
Simetría no es martingala (§III, proposición 1): comenzar X en cero puede mantener la media no condicional de S(X) en ½ por simetría. No elimina la deriva condicional después de que el proceso abandona el centro.
Interpretación: una derrota con pronóstico alto no refuta por sí sola una probabilidad. Tampoco esta simulación reproduce las elecciones de 2016: muestra las consecuencias de los supuestos del modelo.

Fuente: Nassim Nicholas Taleb, Election Predictions as Martingales: An Arbitrage Approach, copia local de 5 páginas; portada «3rd Version, October 2017», sello arXiv:1703.06351v4, 2 de julio de 2019. Ecuaciones (1), (2), (4)–(6), secciones III–IV. Las derivaciones ampliadas, los diagnósticos y las precisiones son parte de este demo.